201武汉中考数学题

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题目内容： 201年武汉中考数学题，题目如下：已知函数 $F(X) = \SIN(X^2)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上连续。求函数 $G(X) = \SIN(\SQRT{X^2})$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的值域。解题步骤：分析函数 $F(X) = \SIN(X^2)$: 由于 $\SIN$ 函数的周期为 $2\PI$，函数 $F(X)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上是连续的。计算 $F(X)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的积分，得到 $F(X)$ 的平均值： $$ \INT{-1}^{1} F(X) \, DX = \INT{-1}^{1} \SIN(X^2) \, DX = \LEFT[\FRAC{\SIN(X^2)}{2}\RIGHT]_{-1}^{1} = \FRAC{\SIN(1) - \SIN(-1)}{2} = \FRAC{\SIN(1) - (-1)}{2} = \FRAC{\SIN(1) 1}{2} $$ 因此，$F(X)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的平均值为 $\FRAC{\SIN(1) 1}{2}$。分析函数 $G(X) = \SIN(\SQRT{X^2})$: 注意到 $\SQRT{X^2}$ 是 $X^2$ 的平方根，即 $\SQRT{X^2} = |X|$。由于 $|X|$ 的范围是 $[0, \INFTY)$，因此 $\SQRT{X^2}$ 的范围是 $[0, \INFTY)$。由于 $\SIN$ 函数在 $[0, \INFTY)$ 上是增函数，所以 $\SIN(\SQRT{X^2})$ 的范围也是 $[0, \INFTY)$。结论：由于 $F(X)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的平均值为 $\FRAC{\SIN(1) 1}{2}$，而 $G(X)$ 的值域为 $[0, \INFTY)$。因此，函数 $G(X) = \SIN(\SQRT{X^2})$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的值域为 $[0, \INFTY)$。

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